Найдите такое наибольшее значение $y$, чтобы в разложении некоторого бинома $y$ последовательных коэффициентов относились между собой как $1:2:3: \cdots : y$. Определите это разложение и выпишите соответствующие коэффициенты.
Подробнее
Покажите, что при любом целом $x$ число
$x^{9} - 6x^{7} + 9x^{5} - 4x^{З}$
делится на 8640.
Подробнее
Некий тюремщик, осуществляя частичную амнистию, поступил следующим образом. Сначала он открыл все камеры. Затем запер каждую вторую камеру (в этой тюрьме все камеры были расположены в один ряд). На третьем этапе он повернул ключ в каждой третьей камере (при очередном повороте ключа открытая камера запирается, а закрытая отпирается). Продолжая действовать подобным образом, тюремщик на $n$-м этапе поворачивал ключ в каждой $n$-й камере. Закончив на этом, он выпустил всех заключенных, которые оказались в открытых камерах. Укажите номера камер, в которых сидели эти счастливчики.
Подробнее
Докажите, что существует только одно множество из трех различных положительных целых чисел, не имеющих общего делителя, большего 1, и обладающих тем свойством, что сумма любых двух таких чисел делится на третье число.
Подробнее
Пусть $a, b, c$ - целые числа, не имеющие общего делителя, отличного от 1, и пусть $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$. Покажите, что числа $(a + b), (a - c)$ и $(b - c)$ представляют собой точные квадраты.
Подробнее
Некоторое число представляет собой произведение трех простых сомножителей, сумма квадратов которых равна 2331. Существует 7560 чисел (включая 1), меньших данного н взаимно простых с ним. Сумма всех делителей данного числа (включая 1 и само число) равна 10560. Найдите это число.
Подробнее
Докажите, что любое положительное рациональное число можно представить в виде конечной суммы различных членов гармонического ряда $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots, \frac{1}{n}, \cdots$
Подробнее
Мы определяем пандиагональный гетероквадрат как такое расположение первых $n^{2}$ положительных целых чисел в виде квадрата, при котором никакие две суммы чисел, расположенных вдоль любой строки, столбца или диагонали (прямой или ломаной), между собой не совпадают. Существует ли такое $n$, при котором эти $4n$ сумм совпадают с последовательными целыми числами?
Подробнее
Решите следующую систему уравнений:
$\begin{cases} x+y+z=6 \\ xy + yz + zx=11 \\ xyz = 6 \end{cases}$
Подробнее
Недавно профессор Евклид Парацельсо Бомбаст Умбуджо ходил буквально надутым от гордости, поскольку ему удалось угадать корень уравнения четвертой степени, которое получалось после освобождения от радикалов в уравнении
$x = \left (x - \frac{1}{x} \right )^{ \frac{1}{2} } + \left ( 1 - \frac{1}{x} \right )^{ \frac{1}{2} }$.
Посрамите профессора и решите данное уравнение, пользуясь уравнениями не выше второй степени.
Подробнее
Какая из двух величин больше: $\sqrt[8]{8}!$ или $\sqrt[9]{9}!$?
Подробнее
Докажем, что выражение
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$
не будет целым ни при каком $n > 1$.
Подробнее
При каком положительном целом $n$ величина $n^{4} + n^{2}$ разделится без остатка на $2n + 1$?
Подробнее
Утверждение «342=97» можно сделать справедливым, вставив между цифрами несколько алгебраических знаков, например $(-3 + 4) \cdot 2 = 9 - 7$. Можно ли придать смысл этому равенству, не вставляя никаких знаков?
Подробнее
Найдите все целые числа $x, y, z$, при которых величина $4^{x} + 4^{y} + 4^{z}$ представляв собой полный квадрат.
Подробнее
