2022-11-26
Пусть $ABC$ - прямоугольный треугольник ($\angle C=90^{\circ}$), $CD$ - высота, $K$ - точка плоскости, причём $AK=AC$. Докажите, что диаметр описанной окружности треугольника $ABK$, проходящий через вершину $A$, перпендикулярен прямой $DK$.
Решение:
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (угол $AKB$ - острый).
Поскольку $CD$ - высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, $AK^{2}=AC^{2}=AB\cdot AD$ (см. задачу 6185), откуда $\frac{AK}{AB}=\frac{AD}{AK}$. Значит, треугольники $ABK$ и $AKD$ подобны, поэтому $\angle AKB=\angle ADK$.
Пусть $AA_{1}$ - диаметр описанной окружности треугольника $ABK$. Тогда
$\angle BAA_{1}+\angle ADK=\angle BAA_{1}+\angle AKB=(90^{\circ}-\angle AA_{1}B)+\angle AKB=(90^{\circ}-\angle AKB)+\angle AKB=90^{\circ}.$
Следовательно, $AA_{1}\perp DK$.
Аналогично для остальных случаев.