2022-11-26
На медианах $AA'$ и $BB'$ треугольника $ABC$ построены в сторону вершины $C$ дуги с одинаковой градусной мерой. Докажите, что общая хорда окружностей, содержащих эти дуги, проходит через точку $C$.
Решение:
Пусть окружность, построенная на $AA'$, пересекает $AC$ в точке $X$, а окружность, построенная на $BB'$, пересекает $BNC$ в точке $Y$. Поскольку $\angle AXA'=\angle BYB'$, треугольники $CXA'$ и $CYB'$ подобны, значит, $\frac{CX}{CA'}=\frac{CY}{CB'}$, или $CX\cdot CB'=CY\cdot CA'$. Тогда
$CX\cdot CA=2CX\cdot CB'=2CY\cdot CA'=CY\cdot CB.$
Значит, степени точки $C$ относительно обеих окружностей равны, следовательно, она лежит на их радикальной оси (см. задачу 9525), т.е. на прямой, содержащей общую хорду окружностей (см. задачу 9526).