2022-11-26
Две окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ пересекаются в двух точках $X$ и $Y$, а третья окружность $\omega$ касается внутренним образом окружностей $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $XY$ пересекает окружность $\omega$ в двух точках $M$ и $N$. Лучи $PM$ и $PN$ пересекают $\omega_{1}$ в точках $A$ и $D$, а лучи $QM$ и $QN$ пересекают $\omega_{2}$ в точках $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что $AB=CD$.
Решение:
Точка $P$ является центром гомотетии окружностей $\omega$ и $\omega_{1}$ (см. задачу 9535). Следовательно, $AD\parallel MN$, а т.к. общая хорда пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров (см. задачу 4796), то прямая $AD$ перпендикулярна линии центров окружностей $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$.
Поскольку окружность симметрична относительно любого своего диаметра (см. задачу 5281), точки $A$ и $D$ симметричны относительно линии центров окружностей $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. Аналогично $B$ и $C$ симметричны относительно этой линии, и значит, $AB=CD$.