2022-11-26
Пусть $A_{1}B_{1}C_{1}$ - треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно центра окружности, вписанной в его серединный треугольник (треугольник с вершинами в серединах сторон треугольника $ABC$). Докажите, что ортоцентр треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$ совпадает с центром окружности, описанной около треугольника, с вершинами в центрах вневписанных окружностей треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть $H$ - ортоцентр треугольника $ABC$, $I$ - центр вписанной в него окружности, $O$ - центр описанной, $M$ - центр тяжести, $I_{0}$ - центр окружности, вписанной в серединный треугольник.
Очевидно, что ортоцентр $H_{1}$ треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$ симметричен $H$ относительно $I_{0}$.
С другой стороны, для треугольника $I_{a}I_{b}I_{c}$, образованного центрами вневписанных окружностей, точка $I$ является ортоцентром (см. задачу 7880), а треугольник $ABC$ - ортотреугольником, а значит, описанная около треугольника $ABC$ окружность - окружностью девяти точек треугольника $I_{a}I_{b}I_{c}$ (см. задачу 3974). Её центр $O$ - середина отрезка с концами в ортоцентре $I$ треугольника $I_{a}I_{b}I_{c}$ и центре его описанной окружности. Следовательно, центр описанной окружности треугольника $I_{a}I_{b}I_{c}$ симметричен точке $I$ относительно $O$.
Рассмотрим треугольник $IHH_{1}$. Поскольку серединный треугольник гомотетичен треугольнику $ABC$ с центром гомотетии $M$ и коэффициентом $-\frac{1}{2}$, медиана $II_{0}$ треугольника $IHH_{1}$ проходит через точку $M$ и делится этой точкой в отношении $2:1$. Значит, $M$ - точка пересечения медиан этого треугольника. Но $M$ также делит в отношении $2:1$ отрезок $HO$ (см. задачу 8211). Следовательно, $O$ - середина отрезка $IH_{1}$.