2022-11-26
Постройте треугольник, если даны его центр тяжести (точка пересечения медиан) и основания высоты и биссектрисы, проведённых к одной стороне.
Решение:
Пусть $C_{1}$ и $C_{2}$ - основания биссектрисы и высоты, проведённых из вершины $C$ треугольника $ABC$, а $M$ - точка пересечения его медиан. Очевидно, вершина $C$ лежит на перпендикуляре, восставленном из $C_{2}$ к прямой $C_{1}C_{2}$.
Кроме того, проекция точки $M$ на этот перпендикуляр делит высоту треугольника в отношении $2:1$, что позволяет построить точку $C$, а также середину $C_{0}$ стороны $AB$ как пересечение прямых $CM$ и $C_{1}C_{2}$.
Пусть $C'$ - точка пересечения прямой $CC_{1}$ и перпендикуляра $l$ к прямой $C_{1}C_{2}$, проведённого из $C_{0}$. Точка $C'$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$ (см. замечание к задаче 4222), следовательно, серединный перпендикуляр к $CC'$ пересекает прямую $l$ в центре $O$ этой окружности. Построив окружность, мы найдём вершины $A$, $B$ как точки её пересечения с прямой $C_{1}C_{2}$.