2022-11-26
Докажите неравенство
$\frac{1}{\sqrt{2\sin A}}+\frac{1}{\sqrt{2\sin B}}+\frac{1}{\sqrt{2\sin C}}\leq\sqrt{\frac{p}{r}},$
где $p$ - полупериметр, а $r$ - радиус вписанной окружности треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть $R$ и $S$ - радиус описанной окружности и площадь треугольника $ABC$. Используя теорему синусов и формулы $S=pr$ (см. задачу 4244), $S=2R^{2}\sin A\sin B\sin C$ (см. задачу 7217), преобразуем правую часть неравенства:
$\sqrt{\frac{p}{r}}=\sqrt{\frac{p}{\frac{S}{p}}}=\frac{p}{\sqrt{S}}=\frac{R(\sin A+\sin B+\sin C)}{\sqrt{2R^{2}\sin A\sin B\sin C}}=\sqrt{\frac{\sin A}{2\sin B\sin C}}+\sqrt{\frac{\sin B}{2\sin A\sin C}}+\sqrt{\frac{\sin C}{2\sin A\sin B}}$
Из неравенства о средних следует, что
$\frac{2}{\sqrt{\sin A}}\leq\sqrt{\frac{\sin B}{\sin A\sin C}}+\sqrt{\frac{\sin C}{\sin A\sin B}}.$
Сложив это неравенство с двумя аналогичными, получим утверждение задачи.