2022-11-26
Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и углом $\alpha$ при вершине. На отрезке $AC$ во внешнюю сторону построена дуга с градусной мерой $\beta$. Две прямые, проходящие через вершину $B$, делят как отрезок, так и дугу $AC$ на три равные части. Найдите отношение $\frac{\alpha}{\beta}$.
Решение:
Пусть $X$ и $Y$ - точки, делящие отрезок $AC$ на три равные части ($AX=XY=YC$), $U$ и $V$ - точки пересечения прямых соответственно $BX$ и $BY$ с дугой $AC$, $Z$ - точка пересечения прямых $BC$ и $UV$.
Тогда $UV\parallel AC$ как хорды, между которыми заключены равные дуги, поэтому $VZ=UV=VC$. Следовательно,
$\angle BCU=\angle UCZ=90^{\circ}$
(см. задачу 4846).
С другой стороны, по теореме о вписанном угле
$\angle ACU=\angle UCV=\frac{\beta}{6},~\angle BCA=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},$
а т.к.
$\angle BCA+\angle ACU=\angle BCU=90^{\circ},$
то
$90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{6}=90^{\circ}.$
Отсюда находим, что $\beta=3\alpha$.