2022-11-26
Пусть $CC_{0}$ - медиана треугольника $ABC$, серединные перпендикуляры к $AC$ и $BC$ пересекают $CC_{0}$ в точках $A'$ и $B'$, прямые $AA'$ и $BB'$ пересекаются в точке $C_{1}$. Докажите, что $\angle C_{1}CA=\angle C_{0}CB$.
Решение:
Треугольники $CAA'$, и $CBB'$ - равнобедренные, поэтому
$\angle CAA'=\angle C_{0}CA,~\angle CBB'=\angle C_{0}CB.$
Следовательно, расстояния от точки $C$ до прямых $AC_{1}$ и $BC_{1}$ равны соответственно расстояниям от $A$ и $B$ до прямой $CC_{0}$ (как высоты равнобедренных треугольников, опущенные на боковые стороны). Но $CC_{0}$ - медиана, так что эти расстояния равны. Таким образом, точка $C$ равноудалена от прямых $C_{1}A$ и $C_{1}B$, поэтому $\angle CC_{1}A=\angle CC_{1}B$. Отсюда получаем, что
$\angle C_{1}CA-\angle C_{1}CB=\angle C_{1}BC-\angle C_{1}AC=\angle C_{0}CB-\angle C_{0}CA,$
значит,
$\angle C_{1}CA+\angle C_{0}CA=\angle C_{1}CB+\angle C_{0}CB.$
Обозначим $\angle C_{1}CA=\alpha$, $\angle C_{0}CB=\beta$. Тогда последнее равенство имеет вид
$2\alpha+\angle C_{1}CC_{0}=2\beta+\angle C_{1}CC_{0}.$
Следовательно, $\alpha=\beta$. Что и требовалось доказать.