2022-11-26
В выпуклом четырёхугольнике с перпендикулярными диагоналями равны два противолежащих угла. Докажите, что в него можно вписать окружность.
Решение:
Пусть в четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle B=\angle D$, $O$ - точка пересечения диагоналей. Предположим, что $OB\gt OD$. Тогда точка $D'$, симметричная $D$ относительно прямой $AC$, лежит на отрезке $OB$. Следовательно, по свойству внешнего угла треугольника $\angle AD'O\gt\angle ABO$, $\angle CD'O\gt\angle CBO$. Но тогда $\angle D=\angle AD'C\gt\angle B$ - противоречие. Таким образом, $OB=OD$, т.е диагональ $AC$ является осью симметрии четырёхугольника. Значит, биссектрисы углов $B$ и $D$ пересекают $AC$ в одной и той же точке, которая равноудалена от всех сторон четырёхугольника.