2022-11-26
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AC$ и углом $A=50^{\circ}$. Точки $K$ и $L$ на катете $BC$ таковы, что $\angle KAC=\angle LAB=10^{\circ}$. Найдите отношение $\frac{CK}{LB}$.
Решение:
Пусть $L'$ - точка, симметричная $L$ относительно прямой $AB$. Тогда
$\angle BAL'=\angle BAL=10^{\circ},~\angle AL'L=90^{\circ}-10^{\circ}=80^{\circ},$
$\angle KAL'=\angle BAL'+\angle BAK=10^{\circ}+40^{\circ}=50^{\circ},$
$\angle L'KA=180^{\circ}-80^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}=\angle KAL'.$
Значит, треугольник $AKL'$ равнобедренный, и $L'K=L'A=LA$.
С другой стороны,
$\angle CAL=50^{\circ}-10^{\circ}=40^{\circ}=\angle ACL,$
значит, $AL=CL$. Из этих равенств следует, что $CK=LL'=2BL$. Следовательно, $\frac{CK}{LB}=2$.