2022-11-17
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности с центром $I$. Докажите, что проекции точек $B$ и $D$ на прямые $IA$ и $IC$ лежат на одной окружности.
Решение:
Середина $M$ диагонали $BD$ равноудалена от проекций $Y$ и $Z$ точек $B$ и $D$ на прямую $IC$ (см. задачу 5507), т.е. $MY=MZ$. Докажем, что она равноудалена и от проекций $X$ и $Y$ точки $B$ на прямые $IA$ и $IC$, т.е. $MY=MX$. Отсюда будет следовать, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на окружности с центром $M$.
Поскольку
$\angle BXI=\angle BYI=90^{\circ},$
точки $X$ и $Y$ лежат на окружности с диаметром $BI$. Тогда серединный перпендикуляр к отрезку $XY$ проходит через центр этой окружности, т.е. через середину $N$ её диаметра $BI$.
Пусть прямые $DI$ и $XY$ пересекаются в точке $K$. По теореме о внешнем угле треугольника
$\angle IKX=\angle XID-\angle KXI=\angle AID-\angle YXI=\angle AID-\angle YBI=\angle AID-(90^{\circ}-\angle BIY)=\angle AID-(90^{\circ}-\angle BIC)=\angle AID+\angle BIC-90^{\circ}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$
(см. задачу 7882), т.е. $DI\perp XY$.
Значит, прямая $DI$ параллельна серединному перпендикуляру к отрезку $IY$, проходящему через точку $N$. Тогда этот серединный перпендикуляр проходит через середину $M$ диагонали $BD$ ($MN$ - средняя линия треугольника $BDI$). Следовательно, $MY=MX$.
Аналогично доказывается что на этой окружности лежит и проекция точки $D$ на $IA$.