2022-11-17
На сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены треугольники $A_{1}BC$, $B_{1}CA$ и $C_{1}AB$, причём $\angle A_{1}BC=\angle C_{1}BA$, $\angle C_{1}AB=\angle B_{1}AC$, $\angle B_{1}CA=\angle A_{1}CB$. Докажите, что прямые $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в одной точке.
Решение:
Обозначим
$BC=a,~CA=b,~AB=c,~\angle BAC=\alpha,~\angle ABC=\beta,~\angle ACB=\gamma,$
$\angle C_{1}AB=\angle B_{1}AC=x,~\angle A_{1}BC=\angle C_{1}BA=y,~\angle A_{1}CB=\angle B_{1}CA=z.~$
Пусть отрезки $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекают стороны $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $A_{2}$, $B_{2}$ и $C_{2}$ соответственно. Из равенств
$\frac{S_{\Delta A_{1}A_{2}C}}{S_{\Delta A_{1}A_{2}B}}=\frac{CA_{2}}{A_{2}B},~\frac{S_{\Delta AA_{2}C}}{S_{\Delta AA_{2}B}}=\frac{CA_{2}}{A_{2}B},~$
(см. задачу 6413) следует, что
$\frac{CA_{2}}{A_{2}B}=\frac{S_{\Delta ACA_{1}}}{S_{\Delta ABA_{1}}}=\frac{\frac{1}{2}AC\cdot CA_{1}\sin\angle ACA_{1}}{\frac{1}{2}AB\cdot BA_{1}\sin\angle ABA_{1}}=\frac{\frac{1}{2}b\cdot CA_{1}\sin(\gamma+z)}{\frac{1}{2}c\cdot BA_{1}\sin(\beta+y)}=\frac{b\cdot CA_{1}\sin(\gamma+z)}{c\cdot BA_{1}\sin(\beta+y)}.$
Аналогично,
$\frac{BC_{2}}{C_{2}A}=\frac{a\cdot BC_{1}\sin(\beta+y)}{b\cdot AC_{1}\sin(\alpha+x)},~\frac{AB_{2}}{B_{2}C}=\frac{c\cdot AB_{1}\sin(\alpha+x)}{a\cdot CB_{1}\sin(\gamma+z)}.$
Кроме того, по теореме синусов
$\frac{CA_{1}}{BA_{1}}=\frac{\sin y}{\sin z},~\frac{BC_{1}}{AC_{1}}=\frac{\sin x}{\sin y},~\frac{AB_{1}}{CB_{1}}=\frac{\sin z}{\sin x}.$
Тогда
$\frac{CA_{2}}{A_{2}B}\cdot\frac{BC_{2}}{C_{2}A}\cdot\frac{AB_{2}}{B_{2}C}=\frac{b\cdot CA_{1}\sin(\gamma+z)}{c\cdot BA_{1}\sin(\beta+y)}\cdot\frac{a\cdot BC_{1}\sin(\beta+y)}{b\cdot AC_{1}\sin(\alpha+x)}\cdot\frac{c\cdot AB_{1}\sin(\alpha+x)}{a\cdot CB_{1}\sin(\gamma+z)}=\frac{CA_{1}}{BA_{1}}\cdot\frac{BC_{1}}{AC_{1}}\cdot\frac{AB_{1}}{CB_{1}}=\frac{\sin y}{\sin z}\cdot\frac{\sin x}{\sin y}\cdot\frac{\sin z}{\sin x}=1$
Следовательно, по теореме Чевы (см. задачу @H1621) прямые $AA_{2}$, $BB_{2}$ и $CC_{2}$, а значит, и отрезки $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$, пересекаются в одной точке.