2022-11-17
В треугольник $ABC$ вписан ромб $CKLN$ так, что точка $L$ лежит на стороне $AB$, точка $N$ - на стороне $AC$, точка $K$ - на стороне $BC$. Пусть $O_{1}$, $O_{2}$ и $O$ - центры описанных окружностей треугольников $ACL$, $BCL$ и $ABC$ соответственно. Пусть $P$ - точка пересечения описанных окружностей треугольников $ANL$ и $BKL$, отличная от $L$. Докажите, что точки $O_{1}$, $O_{2}$, $O$ и $P$ лежат на одной окружности.
Решение:
Обозначим $\angle ACB=\gamma$. Диагональ $CL$ ромба - биссектриса угла $ACB$, а прямые $LN$ и $LK$ параллельны сторонам $BC$ и $AC$. Кроме того, $AO_{1}L$ - центральный угол описанной окружности треугольника $ACL$, а $ACL$ - вписанный, поэтому
$\angle AO_{1}L=2\angle ACL=\angle ACB=\angle ANL,$
т.е. точка $O_{1}$ лежит на описанной окружности треугольника $ANL$. Вписанные в эту окружность углы $APL$ и $AO_{1}L$ равны, т.к. они опираются на одну и ту же дугу. Вписанные углы $APO_{1}$ и $ALO_{1}$ также равны, а треугольник $AO_{1}L$ равнобедренный, поэтому
$\angle O_{1}PL=\angle APL+\angle O_{1}PA=\angle ANL+\angle O_{1}LA=\gamma+\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}.$
Аналогично $\angle O_{2}PL=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}$. Значит,
$\angle O_{1}PO_{2}=360^{\circ}-2\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=180^{\circ}=\gamma,$
но угол $O_{1}OO_{2}$ также равен $180^{\circ}-\gamma$, потому что прямые $OO_{1}$ и $OO_{2}$ являются серединными перпендикулярами к сторонам $AC$ и $BC$. Из точек $P$ и $O$ отрезок $O_{1}O_{2}$ виден под одним и тем же углом, следовательно, точки $O_{1}$, $O_{2}$, $O$ и $P$ лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.