2022-03-12
Даны точки $A(0;0)$, $B(4;0)$ и $C(0;6)$. Составьте уравнение окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Решение:
Поскольку абсциссы точек $A$ и $C$ равны 0, эти точки лежат на прямой $x=0$, т.е. на оси $OY$. Поскольку ординаты точек $A$ и $B$ равны 0, эти точки лежат на прямой $y=0$, т.е. на оси $OY$. Значит, треугольник $ABC$ - прямоугольный, $\angle BAC=90^{\circ}$. Поэтому центр его описанной окружности совпадает с серединой $M(x_{0};y_{0})$ гипотенузы $BC$, а радиус $R$ равен половине гипотенузы.
По формулам для координат середины отрезка находим, что
$x_{0}=\frac{4+0}{2}=2,~y_{0}=\frac{0+6}{2}=3.$
По формуле для расстояния между двумя точками
$BC=\sqrt{(0-4)^{2}+(6-0)^{2}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.$
Поэтому $R=\frac{1}{2}BC=\sqrt{13}$.
Следовательно, искомое уравнение имеет вид
$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=13.$