2021-11-26
Две окружности радиусов $\sqrt{19}$ и $\sqrt{76}$, касающиеся друг друга внешним образом, вписаны в полуокружность (т.е. каждая из окружностей касается этой полуокружности и её диаметра). Найдите радиус полуокружности.
Решение:
Пусть $O$, $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры полуокружности и окружностей, радиусы которых обозначим через соответственно $R$, $r_{1}$ и $r_{2}$. Пусть $A$ и $B$ - точки касания соответствующих окружностей с диаметром полуокружности, $C$ - проекция точки $O_{1}$ на $O_{2}B$. Поскольку $r_{1}=\sqrt{19}$, а $r_{2}=2\sqrt{19}$, то $r_{2}=2r_{1}$. Обозначим $r_{1}=r$. Тогда $r_{2}=2r$, $O_{1}O_{2}=r_{1}+r_{2}=3r$, $O_{2}C=2r-r=r$.
Из прямоугольного треугольника $O_{1}CO_{2}$ по теореме Пифагора находим, что
$O_{1}C=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}C^{2}}=\sqrt{9r^{2}-r^{2}}=2r\sqrt{2}.$
Обозначим $AO=x$, $BO=y$. Поскольку $OO_{1}=R-r$ и $OO_{2}=R-2r$, то из прямоугольных треугольников $OAO_{1}$ и $OBO_{2}$ получаем, что
$(R-r)^{2}=r^{2}+x^{2}$ и
$(R-2r)^{2}=4r^{2}+y^{2},$
откуда $x^{2}=(R-r)^{2}-r^{2}$ и $y^{2}=(R-2r)^{2}-4r^{2}$, а т.к. $x+y=AB=2r\sqrt{2}$, то получаем уравнение
$\sqrt{R^{2}-2Rr}+\sqrt{R^{2}-4Rr}=2r\sqrt{2}.$
Сделав замену $t=\frac{R}{r}$, получим иррациональное уравнение
$\sqrt{t^{2}-2t}=2\sqrt{2}-\sqrt{t^{2}-4t}.$
После возведения обеих частей в квадрат получим уравнение $2\sqrt{2}\sqrt{t^{2}-4t}=4-t$, откуда следует, что $t=4$.
Таким образом, $R=4r=4\sqrt{19}$.