2021-11-26
Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Окружность радиуса 35, центр которой лежит на прямой $BC$, проходит через точки $A$ и $D$. Известно, что $AB^{2}-AC^{2}=216$, а площадь треугольника $ABC$ равна $90\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, $\angle BAD=\angle CAD=\alpha$, $\angle ADC=\beta$, а радиус данной окружности равен $r$. Заметим, что $\beta\gt\alpha$ (как внешний угол треугольника $ADC$).
Из условия задачи следует, что $c\gt b$, поэтому
$\angle ABC\lt\angle ACB$, или $\beta-\alpha\lt180^{\circ}-\alpha-\beta,$
откуда получаем, что $\beta\lt90^{\circ}$. Поскольку центр $O$ окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде $AD$, то точка $O$ лежит на луче $DC$.
Треугольник $AOD$ - равнобедренный, поэтому $\angle OAD=\angle ODA=\beta$, а т.к. $\beta\gt\alpha$, то точка $C$ лежит между $D$ и $O$. Тогда $\angle CAO=\beta-\alpha$. Отсюда следует, что треугольники $ABO$ и $CAO$ подобны по двум углам. Значит,
$\frac{BO}{AO}=\frac{AO}{CO}$, или $\frac{r+BD}{r}=\frac{r}{r-CD}.$
Поскольку $AD$ - биссектриса треугольника $ABC$, то $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$. Отсюда находим, что
$BD=\frac{ac}{b+c},~CD=\frac{ab}{b+c}.$
Подставив найденные выражения в равенство $\frac{r+BD}{r}=\frac{r}{r-CD}$, получим:
$\left(r+\frac{ac}{b+c}\right)\left(r-\frac{ab}{b+c}\right)=r^{2}$, или $r(c^{2}-b^{2})=abc.$
Пусть $R$ - искомый радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, $S$ - площадь треугольника $ABC$. Тогда
$R=\frac{abc}{4S}=\frac{r(c^{2}-b^{2})}{4S}=\frac{35\cdot216}{4\cdot90\sqrt{3}}=7\sqrt{3}.$