2021-11-26
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$ так, что $CD=\sqrt{13}$ и $\sin\angle ACD:\sin\angle BCD=4:3$. Через середину отрезка $CD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $\angle ACB=120^{\circ}$, площадь треугольника $MCN$ равна $3\sqrt{3}$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ в 2 раза больше расстояния от точки $N$ до этой же прямой. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Решение:
Обозначим $CM=x$, $CN=y$, $\angle ACD=\alpha$, $\angle BCD=\beta$. Из условия задачи следует, что
$\begin{cases}\alpha+\beta=120^{\circ}\\\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{3}{4}.\end{cases}$
Выразив из первого уравнения $\beta$ и подставив во второе, получим уравнение
$3\sin\alpha=4\sin(120^{\circ}-\alpha),$
откуда найдём, что $tg\alpha=2\sqrt{3}$. Тогда
$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}},~\sin\alpha=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}},~\sin\beta=\frac{3}{4}\sin\alpha=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}.$
Пусть $P$ - середина отрезка $CD$. Поскольку $S_{\Delta MCP}+S_{\Delta NCP}=S_{\Delta MCN}$ и по условию $S_{\Delta MCN}=3\sqrt{3}$, получим систему
$\begin{cases}\frac{1}{2}CM\cdot CP\cdot\sin\alpha+\frac{1}{2}CN\cdot CP\cdot\sin\alpha=\frac{1}{2}CM\cdot CN\cdot\sin120^{\circ}\\\frac{1}{2}CM\cdot CN\cdot\sin120^{\circ}=3\sqrt{3},\end{cases}$
или
$\begin{cases}\frac{1}{2}x\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}\cdot\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}+\frac{1}{2}y\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}=3\sqrt{3}\\\frac{1}{2}xy\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3},\end{cases}$
или
$\begin{cases}4x+3y=12\\xy=12,\end{cases}$
откуда находим, что $x=3$, $y=4$.
По теореме косинусов из треугольников $MCN$ и $MCP$ находим, что
$MN=\sqrt{CM^{2}+CN^{2}-2\cdot CM\cdot CN\cdot\cos120^{\circ}}=\sqrt{9+16+12}=\sqrt{37},$
$MP=\sqrt{CM^{2}+CP^{2}-2\cdot CM\cdot CP\cdot\cos\alpha}=\sqrt{9+\frac{13}{4}}-2\cdot3\frac{\sqrt{13}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{37}}{2}.$
Следовательно, $P$ - середина отрезка $CD$.
Диагонали четырёхугольника $MCND$ точкой пересечения делятся пополам, поэтому четырёхугольник $MCND$ - параллелограмм. Значит, $DN\parallel AM$ и $DM\parallel BN$, поэтому треугольники $BND$ и $DMA$ подобны, а т.к. по условию их высоты, проведённые из вершин $N$ и $M$, относятся как $1:2$, то коэффициент подобия этих треугольников равен $\frac{1}{2}$. Поэтому $BN=\frac{1}{2}DM=\frac{1}{2}CN=2$ и $AM=2DN=2CM=6$, откуда $AC=3+6=9$ и $BC=4+2=6$.
Следовательно,
$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC\cdot\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}9\cdot6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{27\sqrt{3}}{2}.$