2021-11-26
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $\angle ACB=75^{\circ}$, а высота, опущенная из вершины этого угла, равна 1. Найдите радиус описанной окружности, если известно, что периметр треугольника $ABC$ равен $4+\sqrt{6}-\sqrt{2}$.
Решение:
Пусть $CD$- высота треугольника. Обозначим $AB=c$, $BC=a$, $AC=b$. Тогда $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}c$. С другой стороны,
$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AC\cdot\sin\angle ACB=\frac{1}{2}ab\sin75^{\circ},$
поэтому $c=ab\sin75^{\circ}$.
По теореме косинусов
$AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}-2BC\cdot AC\cos\angle ACB,$
или $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos75^{\circ}$.
Наконец, по условию задачи $a+b+c=4+\sqrt{6}-\sqrt{2}$.
Таким образом, имеем систему
$\begin{cases}c=ab\sin75^{\circ}\\c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos75^{\circ}\\a+b+c=4+\sqrt{6}-\sqrt{2},\end{cases}$
Заметив, что $\sqrt{6}-\sqrt{2}=4\cos75^{\circ}$, перепишем систему в виде
$\begin{cases}ab=\frac{c}{\sin75^{\circ}}\\c^{2}=(a+b)^{2}-2ab(1+\cos75^{\circ})\\a+b=4+4\cos75^{\circ}-c.\end{cases}$
Подставив $ab$ из первого уравнения и $a+b$ - из третьего во второе, получим уравнение относительно $c$:
$c^{2}=(4(1+\cos75^{\circ})-c)^{2}-\frac{2c(1+\cos75^{\circ})}{\sin75^{\circ}},$
откуда находим, что
$c=\frac{8(1+\cos75^{\circ})\sin75^{\circ}}{4\sin75^{\circ}+1}=\frac{8\sin75^{\circ}+4\sin150^{\circ}}{4\sin75^{\circ}+1}=\frac{8\sin75^{\circ}+2}{4\sin75^{\circ}+1}=2.$
Пусть $R$ - искомый радиус описанной окружности данного треугольника. Тогда
$R=\frac{AB}{2\sin\angle ACB}=\frac{c}{2\sin75^{\circ}}=2:\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}-\sqrt{2}.$