2021-11-26
На координатной плоскости $(x;y)$ проведена окружность радиуса 4 с центром в начале координат. Прямая, заданная уравнением $y=4-(2-\sqrt{3})x$, пересекает её в точках $A$ и $B$. Найдите сумму длин отрезка $AB$ и меньшей дуги $AB$.
Решение:
Решив систему уравнений
$\begin{cases}x^{2}+y^{2}=16\\y=4-(2-\sqrt{3})x,\end{cases}$
найдём координаты точек пересечения прямой и окружности: $A(0;4)$, $B(2;2\sqrt{3})$. Тогда
$AB=\sqrt{(0-2)^{2}+(4-2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{32-16\sqrt{3}}=4\sqrt{2-\sqrt{3}}.$
Пусть $O$ - начало координат. По теореме косинусов из треугольника $AOB$ находим, что
$\cos\angle AOB=\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2OA\cdot OB}=\frac{16+16-32+16\sqrt{3}}{2\cdot4\cdot4}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
Поэтому градусная мера меньшей дуги $AB$ равна $30^{\circ}$. Длина этой дуги равна одной двенадцатой длины окружности радиуса 4, т.е. $\frac{2\pi}{3}$. Следовательно, искомая сумма равна $\frac{2\pi}{3}+4\sqrt{2-\sqrt{3}}$.