2021-11-26
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $D$ такая, что $\angle CAD=2\angle DAB$. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники $ADC$ и $ADB$, равны соответственно 8 и 4, а расстояние между точками касания этих окружностей с прямой $BC$ равно $\sqrt{129}$. Найдите $AD$.
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$- центры окружностей, вписанных в треугольники $ABD$ и $ACD$ соответственно, $M$ и $N$ - точки их касания соответственно с стороной $BC$, $P$ и $Q$ - точки касания соответственно с отрезком $AD$. Пусть $\angle BAD=2\alpha$, $\angle ADO_{2}=\beta$. Тогда $\angle DAO_{1}=\alpha$, $\angle DAO_{2}=2\alpha$, $\angle ADO_{1}=90^{\circ}-\beta$ ($\angle O_{1}DO_{2}=90^{\circ}$ как угол между биссектрисами внешних углов).
Из прямоугольных треугольников $APO_{1}$ и $AQO_{2}$ находим, что $AP=O_{1}Pctg\alpha=4ctg\alpha$ и $AQ=O_{2}Qctg2\alpha=8ctg2\alpha$. Тогда
$PQ=AP-AQ=4ctg\alpha-8ctg2\alpha=\frac{4}{tg\alpha}-\frac{4(1-tg^{2}\alpha)}{tg\alpha}=4tg\alpha\gt0.$
Отсюда, в частности, следует, что точка $Q$ лежит между $A$ и $P$, поэтому $DP\lt DQ$.
Из прямоугольных треугольников $DPO_{1}$ и $DQO_{2}$ находим, что $DP=O_{1}Pctg(90^{\circ}-\beta)=4tg\beta$ и $DQ=O_{2}Qctg\beta=8ctg\beta$.
Обозначим $DP=x$ и $DQ=y$. Тогда $x+y=DP+DQ=DM+DN=MN=\sqrt{129}$ и $xy=4tg\beta\cdot8ctg\beta=32$. Решая систему
$\begin{cases}x+y=\sqrt{129}\\xy=32\\x\lt y,\end{cases}$
находим, что $x=\frac{\sqrt{129}-1}{2}$, $y=\frac{\sqrt{129}+1}{2}$. Тогда $PQ=DQ-DP=y-x=1$. Ранее было установлено, что $PQ=4tg\alpha$, поэтому $tg\alpha=\frac{1}{4}$. Следовательно, $AQ=\frac{8}{tg2\alpha}=\frac{4(1-tg^{2}\alpha)}{tg\alpha}=16\left(1-\frac{1}{16}\right)=15$, откуда
$AD=AQ+QD=15+\frac{\sqrt{129}+1}{2}=\frac{\sqrt{129}+31}{2}.$