2021-11-26
Окружность радиуса 3 проходит через середины трёх сторон треугольника $ABC$, в котором углы при вершинах $A$ и $B$ равны $60^{\circ}$ и $45^{\circ}$ соответственно. Найдите площадь треугольника.
Решение:
Докажем сначала, что площадь треугольника можно вычислить по формуле
$S=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma,$
где $R$ - радиус описанной около треугольника окружности, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$- углы треугольника.
Пусть $a$, $b$, $c$ - стороны треугольника, противолежащие углам $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ соответственно. По теореме синусов $a=2R\sin\alpha$, $b=2R\sin\beta$. Следовательно,
$S=\frac{1}{2}ab\cdot\sin\gamma=\frac{1}{2}\cdot2R\sin\alpha\cdot2R\sin\beta\cdot\sin\gamma=S=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.$
Пусть $K$, $L$ и $M$ - середины сторон соответственно $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$. Тогда треугольник $ABC$ подобен треугольнику $LMK$ с коэффициентом 2. По доказанной выше формуле
$S_{\Delta LKM}=2\cdot3^{2}\sin60^{\circ}\sin45^{\circ}\sin75^{\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{9(3+\sqrt{3})}{4}.$
Следовательно,
$S_{\Delta ABC}=4S_{\Delta LKM}=9(3+\sqrt{3}).$