2021-11-26
Полуокружность радиуса $r$ разделена точками на 3 равные части, и точки деления соединены хордами с одним и тем же концом диаметра, стягивающего эту полуокружность. Найдите площадь фигуры, ограниченной двумя хордами и заключённой между ними дугой.
Решение:
Пусть $CD$ - диаметр, $O$ - середина $CD$, а $DA$, $AB$ и $BC$ - хорды. Треугольники $AOD$, $AOB$ и $BOC$ - равносторонние, $\angle AOD=\angle AOB=\angle BOC=60^{\circ}$, поэтому $AB\parallel DC$. Значит, $S_{\Delta ADB}=S_{\Delta AOB}$.
В задаче требуется найти площадь фигуры, составленной из треугольника $ADB$ и сегмента $AB$, ограниченного дугой $AB$, не содержащей точку $D$.
Заметим, что сектор $AOB$ состоит из треугольника $AOB$ и этого же сегмента, следовательно, искомая площадь равна площади сектора $AOB$, т.е. шестой части площади соответствующего круга. Таким образом, искомая площадь равна $\frac{\pi r^{2}}{6}$.