2021-11-26
В трапеции $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны и $CD=2AB$. На сторонах $AD$ и $BC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $DP:PA=2$, $BQ:QC=3:4$. Найдите отношение площадей четырёхугольников $ABQP$ и $CDPQ$.
Решение:
Пусть продолжения боковых сторон $AD$ и $BC$ трапеции пересекаются в точке $K$. Из условия задачи следует, что $AB$ - средняя линия треугольника $KDC$. Обозначим $AB=z$, $BQ=3t$, $S_{\Delta AKB}=s$. Тогда
$DP=2z,~AK=AD=3z,~CQ=4t,~BK=BC=7z,~$
$S_{\Delta KDC}=4s,~S_{\Delta KPQ}=\frac{KP}{KD}\cdot\frac{KQ}{KC}\cdot S_{\Delta KDC}=\frac{4}{6}\cdot\frac{10}{14}\cdot4s=\frac{40}{21}s$
(см. задачу 6419),
$S_{ABQP}=S_{\Delta KPQ}-S_{\Delta AKB}=\frac{40}{21}s-s=\frac{19}{21}s,$
$S_{CDPQ}=S_{ABCD}-S_{ABQP}=3s-\frac{19}{21}=\frac{44}{21}s.$
Следовательно,
$\frac{S_{ABQP}}{S_{CDPQ}}=\frac{19}{44}.$