2021-11-26
Определите угол $A$ между сторонами 2 и 4, если медиана, проведённая из вершины $A$, равна $\sqrt{7}$.
Решение:
На продолжении медианы $AM$ данного треугольника $ABC$ со сторонами $AB=2$ и $AC=4$ отложим отрезок $MD$, равный отрезку $AM$. Тогда четырёхугольник $ABDC$ - параллелограмм, поэтому $CD=AB=2$. Применяя теорему косинусов, из треугольника $ACD$ находим, что
$\cos\angle ACD=\frac{AC^{2}+CD^{2}-AD^{2}}{2\cdot AC\cdot CD}=\frac{16+4-4\cdot7}{2\cdot4\cdot2}=-\frac{1}{2},$
поэтому $\angle ACD=120^{\circ}$. Следовательно,
$\angle BAC=180^{\circ}-\angle ACD=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.$