2021-11-26
В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность радиуса 2. Угол $\angle DAB$ - прямой. Сторона $AB$ равна 5, сторона $BC$ равна 6. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.
Решение:
Пусть окружность с центром $O$ касается сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ данного четырёхугольника соответственно в точках $M$, $N$, $K$ и $L$. Тогда $AMOL$ - квадрат. Поэтому
$BN=BM=AB-AM=5-2=3,~CK=CN=BC-BN=6-3=3.$
Продолжим стороны $AD$ и $BC$ до пересечения в точке $Q$. Обозначим $\angle OBM=\angle OBN=\alpha$, $\angle AQB=\beta$. Из прямоугольного треугольника $OBM$ находим, что $tg\alpha=\frac{OM}{BM}=\frac{2}{3}$. Тогда
$tg\angle ABQ=tg2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1-tg^{2}\alpha}=\frac{12}{5},$
$tg\beta=tg\angle AQB=ctg2\alpha=\frac{5}{12},~\cos\beta=\frac{12}{13},$
$AQ=ABtg2\alpha=5\cdot\frac{12}{5}=12,~QL=AQ-AL=12-2=10,$
$BQ=\frac{AQ}{\cos\beta}=12:\frac{12}{13}=13,~CQ=BQ-BC=13-6=7.$
Обозначим $DK=DL=t$. Тогда $CD=DK+KC=t+3$, $DQ=QL-DL=10-t$.
Применим теорему косинусов к треугольнику $CDQ$:
$CD^{2}=DQ^{2}+CQ^{2}-2\cdot DQ\cdot CQ\cdot\cos\beta,$
или
$(t+3)^{2}=49+(10-t)^{2}-2\cdot7(10-t)\cdot\frac{12}{13}.$
Из этого уравнения находим, что $t=\frac{14}{17}$. Следовательно,
$S_{ABCD}=\frac{AB+BC+CK+KD+DL+AL}{2}\cdot OM=\frac{5+6+3+\frac{14}{17}+\frac{14}{17}+2}{2}\cdot2=\frac{300}{17}=17\frac{11}{17}.$