2021-11-26
В трапеции $BCDE$ основание $BE=13$, основание $CD=3$, $CE=10$. На описанной около трапеции $BCDE$ окружности взята отличная от $E$ точка $A$ так, что $CA=10$. Найдите длину отрезка $BA$ и площадь пятиугольника $ABCDE$.
Решение:
Поскольку трапеция $BCDE$ вписана в окружность, то она равнобедренная.
Заметим, что угол $CDE$ - тупой, поэтому для любой точки $X$, отличной от $E$ и лежащей на дуге $CE$, содержащей точку $D$, $CX\lt CE=10$ (в треугольнике $CDE$ против тупого угла лежит наибольшая сторона). Следовательно, точка не может лежать на этой дуге. Точка $A$ не может лежать и на дуге $BC$, не содержащей точки $D$ ($CB=DE\lt CE=10$). Таким образом, точка $A$ лежит на дуге $BE$, не содержащей точки $C$.
Докажем равенство углов $\angle ACB$ и $\angle CED$. Действительно, $\angle BAC=\angle BEC=\angle DCE$, а т.к.
$\angle ABE=\angle ACE=\angle ADE~\mbox{и}~\angle CBE=\angle CAE=\angle CEA=\angle ADC,$
то
$\angle ABC=\angle ABE+\angle CBE=\angle ADE+\angle ADC=\angle CDE.$
Поэтому равны и углы $\angle ACB=\angle CED$ (как оставшиеся углы треугольников $ABC$ и $CDE$). Следовательно, равны и хорды, на которые опираются эти углы, т.е. $AB=CD=3$.
Обозначим $\angle ABE=\angle ACE=\alpha$. Из треугольников $ABE$ и $ACE$ по теореме косинусов находим, что
$AE^{2}=AB^{2}+BE^{2}-2AB\cdot BE\cdot\cos\alpha=9+169-2\cdot3\cdot13\cdot\cos\alpha=178-78\cos\alpha,$
$AE^{2}=AC^{2}+CE^{2}-2AC\cdot CE\cdot\cos\alpha=100+100-2\cdot10\cdot10\cdot\cos\alpha=200-200\cos\alpha.$
Из уравнения $178-78\cos\alpha=200-200\cos\alpha$ находим $\cos\alpha=\frac{11}{61}$. Тогда
$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{11^{2}}{61^{2}}}=\frac{\sqrt{(61-11)(61+11)}}{61}=\frac{60}{61}.$
Поэтому
$S_{\Delta ABE}=\frac{1}{2}AB\cdot BE\cdot\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot3\cdot13\cdot\frac{60}{61}=\frac{3\cdot13\cdot30}{61}.$
Пусть $CH$ - высота равнобедренной трапеции $BCDE$. Тогда
$EH=\frac{BE+CD}{2}=\frac{13+3}{2}=8.$
Из прямоугольного треугольника $CHE$ находим, что
$CH=\sqrt{CE^{2}-EH^{2}}=\sqrt{100-64}=6.$
Поэтому $S{BCDE}=\frac{BE+CD}{2}\cdot CH=8\cdot6=48$.
Следовательно,
$S_{BCDEA}=S_{BCDE}+S_{\Delta ABE}=48+\frac{3\cdot13\cdot30}{61}=\frac{4098}{61}.$