2021-11-26
В треугольнике $ABC$ точки $E$ и $F$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Точка $G$ лежит на отрезке $EF$ так, что $EG:AE=1:2$ и $FG=BE$. Найдите:
а) отношение площадей треугольников $ABG$ и $AGC$;
б) $\angle GCA$, если $\angle AGC=90^{\circ}$.
Решение:
Пусть $EG=x$, тогда $BE=AE=2x$, $GF=2x$, $AC=2EF=6x$. Если расстояние между параллельными прямыми $EF$ и $AC$ равно $h$, то
$S_{\Delta ABG}=2S_{\Delta AEG}=2\cdot\frac{1}{2}EG\cdot h=xh,~S_{\Delta AGC}=\frac{1}{2}AC\cdot h=3xh.$
Следовательно, $S_{\Delta ABG}:S_{\Delta AGC}=1:3$.
Обозначим $\angle GCA=\alpha$, $AG=t$. Тогда $\angle EGA=\angle GAC=90^{\circ}-\alpha$, $t=AC\sin\alpha=6x\sin\alpha$.
Применяя теорему косинусов к треугольнику $AEG$, получим уравнение
$4x^{2}=x^{2}+t^{2}-2xt\cos(90^{\circ}-\alpha),$
или
$4x^{2}=x^{2}+36x^{2}\sin^{2}\alpha-12x^{2}\sin^{2}\alpha,$
откуда находим, что $\sin^{2}\alpha=\frac{1}{8}$.