2021-11-26
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $BM=BN$. Через точку $M$ проведена прямая, перпендикулярная $BC$, а через точку $N$ - прямая перпендикулярная $AB$. Эти прямые пересекаются в точке $O$. Продолжение отрезка $BO$ пересекает сторону $AC$ в точке $P$ и делит её на отрезки $AP=6$ и $PC=3$. Найдите $BP$, если известно, что $BC=5$.
Решение:
Высоты треугольника $BMN$, проведённые из вершин $M$ и $N$, пересекаются в точке $O$, значит, его высота, проведённая из вершины $B$, также проходит через точку $O$, а т.к. треугольник $BMN$ равнобедренный, то луч $BO$ - биссектриса угла $MBN$, а $BP$ - биссектриса треугольника $ABC$. По свойству биссектрисы треугольника $\frac{BC}{AB}=\frac{CP}{AP}$, откуда находим, что
$AB=\frac{BC\cdot AP}{CP}=\frac{5\cdot6}{3}=10.$
По формуле для биссектрисы треугольника
$BP^{2}=BC\cdot AB-CP\cdot AP=5\cdot10-3\cdot6=50-18=32.$
Следовательно, $BP=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.