2021-11-26
Внутри прямоугольного треугольника помещены две окружности одинакового радиуса, каждая из которых касается одного из катетов, гипотенузы и другой окружности. Найдите радиусы этих окружностей, если катеты треугольника равны $a$ и $b$.
Решение:
Пусть окружности радиусов $r$ с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются гипотенузы $AB$ соответственно в точках $M$ и $N$, $BC=a$, $AC=b$ и при этом окружность с центром $O_{1}$ вписана в угол $BAC$. Обозначим $AB=c$, $\angle BAC=\alpha$, $\angle ABC=\beta$. Тогда
$\sin\alpha=\frac{a}{c},~\cos\alpha=\frac{b}{c},~\sin\beta=\frac{b}{c},~\cos\beta=\frac{a}{c},$
$tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{a}{b+c},~tg\frac{\beta}{2}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}=\frac{b}{a+c},$
$AM=\frac{O_{1}M}{tg\frac{\alpha}{2}}=\frac{r(b+c)}{a},~BM=\frac{O_{2}N}{tg\frac{\beta}{2}}=\frac{r(a+c)}{b}.$
Поскольку $c=AB=AM+MN+NB$ и $MN=O_{1}O_{2}=2r$, то имеем уравнение
$\frac{r(b+c)}{a}+2r+\frac{r(a+c)}{b}=c,$
откуда находим, что
$r=\frac{c}{2+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}}=\frac{abc}{2ab+b^{2}+bc+a^{2}+ac}=\frac{abc}{(a+b)^{2}+c(a+b)}=\frac{abc}{(a+b)(a+b+c)}=\frac{ab\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{(a+b)(a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}})}.$