2021-11-26
Докажите, что площадь треугольника с вершинами в серединах высот треугольника $ABC$ в четыре раза меньше площади ортотреугольника треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть $A_{2}$, $B_{2}$ и $C_{2}$ - середины высот соответственно $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ треугольника $ABC$, точки $K$, $L$ и $M$ - середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.
Пусть серединный перпендикуляр к стороне $BC$ пересекается с прямой $ML$ в точке $A_{3}$. Средняя линия $ML$ треугольника $ABC$ проходит через середину $A_{2}$ высоты $AA_{1}$, а т.к. прямоугольные треугольники $AA_{2}M$ и $KA_{3}L$ равны по гипотенузе и острому углу, то $A_{2}M=A_{3}L$. Значит, точки $A_{2}$ и $A_{3}$ симметричны относительно середины стороны $ML$ треугольника $KLM$. Аналогично определим точки $B_{3}$ и $C_{3}$ и докажем, что они симметричны точкам $B_{2}$ и $C_{2}$ относительно середин сторон соответственно $MK$ и $KL$ треугольника $KLM$.
Треугольник $KLM$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$, значит, ортотреугольник $A_{3}B_{3}C_{3}$ треугольника $KLM$ подобен ортотреугольнику $A_{1}B_{1}C_{1}$ треугольника $ABC$ с тем же коэффициентом. Треугольник $A_{2}B_{2}C_{2}$ равновелик треугольнику $A_{3}B_{3}C_{3}$ (см. задачу 7076), а площадь треугольника $A_{3}B_{3}C_{3}$ в четыре раза меньше площади треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$. Следовательно, и площадь треугольника $A_{2}B_{2}C_{2}$ в четыре раза меньше площади треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$. Что и требовалось доказать.