2021-11-26
Длины сторон треугольника $ABC$ равны 4, 6 и 8. Вписанная в этот треугольник окружность касается его сторон в точках $D$, $E$ и $F$. Найдите площадь треугольника $DEF$.
Решение:
По формуле Герона находим, что $S_{\Delta ABC}=\sqrt{9\cdot5\cdot3\cdot1}=3\sqrt{15}$.
Пусть точки $D$, $E$ и $F$ лежат соответственно на сторонах $AB=4$, $BC=6$ и $AC=8$. Обозначим $AD=AF=x$, $BD=BE=y$, $CE=CF=z$. Тогда
$\begin{cases}x+y=4\\y+z=6\\x+z=8,\end{cases}$
откуда находим, что $x=3$, $y=1$, $z=5$. Тогда (см. задачу @H3007)
$S_{\Delta DAF}=\frac{AD}{AB}\cdot\frac{AF}{AC}\cdot S_{\Delta ABC}=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{8}\cdot3\sqrt{15}=\frac{27\sqrt{15}}{32},$
$S_{\Delta DBE}=\frac{BD}{BA}\cdot\frac{BE}{BC}\cdot S_{\Delta ABC}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}\cdot3\sqrt{15}=\frac{\sqrt{15}}{8},$
$S_{\Delta ECF}=\frac{CE}{CB}\cdot\frac{CF}{CA}\cdot S_{\Delta ABC}=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{8}\cdot3\sqrt{15}=\frac{25\sqrt{15}}{16}.$
Следовательно,
$S_{\Delta DEF}=S_{\Delta ABC}-\left(S_{\Delta DAF}+S_{\Delta DBE}+S_{\Delta ECF}\right)=3\sqrt{15}-\left(\frac{27\sqrt{15}}{32}+\frac{\sqrt{15}}{8}+\frac{25\sqrt{15}}{16}\right)=\frac{15\sqrt{15}}{32}.$