2021-11-26
Окружность проходит через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ и касается прямой $AC$ в точке $A$. Найдите радиус окружности, если $\angle BAC=\alpha$, $\angle ABC=\beta$ и площадь треугольника $ABC$ равна $S$.
Решение:
Пусть $D$ - точка пересечения данной окружности с прямой $BC$. Обозначим $AB=c$, $BC=a$. Применяя теорему синусов к треугольнику $ABC$, получим пропорцию
$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin(180^{\circ}-\alpha-\beta)}=\frac{c}{\sin(\alpha+\beta)},$
откуда $a=\frac{c\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$.
Тогда
$S=S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}ac\sin\beta=\frac{c^{2}\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)},$
откуда находим, что $c=\sqrt{\frac{2S\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}}$.
По теореме об угле между касательной и хордой находим, что либо $\angle ADB=\angle BAC=\alpha$ (рис.1), либо $\angle ADB=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-\alpha$ (рис.2). В обоих случаях $\sin\angle ADB=\sin\alpha$.
Пусть $R$ - искомый радиус окружности, описанной около треугольника $ABD$. Тогда
$R=\frac{AB}{2\sin\angle ADB}=\frac{c}{2\sin\alpha}=\sqrt{\frac{S\sin(\alpha+\beta)}{2\sin^{3}\alpha\sin\beta}}.$