2021-11-26
В треугольник $ABC$ со сторонами $AB=6$, $BC=5$, $AC=7$ вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне $AC$, одна на стороне $AB$ и одна на стороне $BC$. Через середину $D$ стороны $AC$ и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой $BH$ треугольника $ABC$ в точке $M$. Найдите площадь треугольника $DMC$.
Решение:
Пусть вершины $P$ и $S$ квадрата $PQRS$ лежат на стороне $AC$ ($P$ между $A$ и $S$), $O$- центр квадрата, $F$ - точка пересечения $BD$ и $QR$. Треугольник $BFR$ подобен треугольнику $BDC$, а треугольник $BQF$ - треугольнику $BAD$, поэтому $\frac{FR}{DC}=\frac{BF}{BD}=\frac{QF}{AD}$, а т.к. $DC=AD$, то $FR=FQ$, т.е. $F$ - середина $QR$.
Пусть прямая $FO$ пересекает $AC$ в точке $E$. Тогда $FE\parallel QP\parallel BH$, а т.к. $O$ - середина $FE$, то, рассуждая аналогично, докажем, что $M$ - середина высоты $BH$.
Высота $MH$ треугольника $DMC$ вдвое меньше высоты $BH$ треугольника $ABC$, основание $DC$ - вдвое меньше основания $AC$, поэтому площадь треугольника $DMC$ в 4 раза меньше площади треугольника $ABC$.
По формуле Герона находим
$S_{\Delta ABC}=\sqrt{9(9-7)(9-6)(9-5)}=\sqrt{9\cdot2\cdot3\cdot4}=6\sqrt{6}.$
Следовательно, $S_{\Delta DMC}=\frac{1}{4}S_{\Delta ABC}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$.