2021-11-26
Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB=6$, $AC=4$, $BC=8$. Точка $D$ лежит на стороне $AB$, а точка $E$ - на стороне $AC$, причём $AD=2$, $AE=3$. Найдите площадь треугольника $ADE$.
Решение:
Пусть $p$ - полупериметр треугольника $ABC$. Из условия задачи следует, что
$p=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)=\frac{1}{2}(6+4+8)=9.$
По формуле Герона
$S_{\Delta ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=\sqrt{9\cdot3\cdot5\cdot1}=3\sqrt{15}.$
Следовательно (см. задачу 6419),
$S_{\Delta ADE}=\frac{AD}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}\cdot S_{\Delta ABC}=\frac{2}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot3\sqrt{15}=\frac{3\sqrt{15}}{4}.$