2021-11-26
В треугольнике $ABC$ биссектрисы углов при вершинах $A$ и $C$ пересекаются в точке $D$. Найдите радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности, если радиус окружности с центром в точке $O$, описанной около треугольника $ADC$, равен $R=6$, и $\angle ACO=30^{\circ}$.
Решение:
Поскольку
$\angle BAC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle B,$
то
$\angle DAC+\angle ACD=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B.$
Поэтому
$\angle ADC=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B\right)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B\gt90^{\circ}-\angle B,$
т.е. угол $ADC$ - тупой. Поэтому точки $D$ и $O$ лежат по разные стороны от прямой $AC$.
Из равнобедренного $AOC$ треугольника находим, что
$AC=2OC\cos30^{\circ}=2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.$
Поскольку $\angle AOC$ - центральный угол окружности с центром $O$ и $\angle AOC=120^{\circ}$, то вписанный в эту окружность $\angle ADC$ равен половине дуги $AC$, не содержащей точку $D$, т.е. $\angle ADC=\frac{1}{2}\cdot240^{\circ}=120^{\circ}$.
Из равенства $\angle ADC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B$ находим, что
$\angle B=2(\angle ADC-90^{\circ})=2(120^{\circ}-90^{\circ})=60^{\circ}.$
Пусть $r$ - искомый радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$. По теореме синусов
$r=\frac{AC}{2\sin\angle B}=\frac{6\sqrt{3}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=6.$