2021-11-26
В угол вписано несколько окружностей, радиусы которых возрастают. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Найдите сумму длин второй и третьей окружностей, если радиус первой равен 1, а площадь круга, ограниченного четвёртой окружностью, равна $64\pi$.
Решение:
Поскольку площадь круга, ограниченного четвёртой окружностью, равна $64\pi$, то радиус четвёртой окружности равен 8. Пусть $r$ и $R$ - радиусы второй и третьей окружности соответственно. Заметим, что фигуры, состоящие из двух соседних окружностей, попарно подобны. Поэтому $\frac{r}{1}=\frac{R}{r}=\frac{8}{R}$, откуда находим, что $r=2$, $R=4$. Следовательно, сумма длин второй и третьей окружностей равна $2\pi(r+R)=2\pi\cdot6=12\pi$.