2021-11-26
Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Найдите её длину, если $BC=CE$, площадь треугольника $ADE$ равна площади треугольника $CDE$, площадь треугольника $ABC$ равна площади треугольника $BCD$, а $3AC+2BD=5\sqrt{5}$.
Решение:
Поскольку $DE$ - общее основание равновеликих треугольников $ADE$ и $CDE$, то их высоты, опущенные из вершин $A$ и $C$, равны, поэтому $AC\parallel DE$. Аналогично $BC\parallel AD$. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, поэтому
$\angle ACE=\angle ADE=\angle CAD=\angle DBC=\angle ACB.$
Значит, $CA$ - биссектриса угла $BCE$ и $AB=AE$, а прямая $AC$ - серединный перпендикуляр к хорде $BE$. Следовательно, отрезок $AC$ - диаметр окружности, а четырёхугольник $ABCD$ - прямоугольник. Поэтому $AC=BD$ и по условию задачи
$3AC+2BD=5CD=5\sqrt{5}.$
Значит, диаметр окружности равен $\sqrt{5}$, а её длина равна $\pi\sqrt{5}$.