2021-11-26
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Точка $X$ лежит на его стороне $AD$, причём $BX\parallel CD$ и $CX\parallel BA$. Найдите $BC$, если $AX=\frac{3}{2}$ и $DX=6$.
Решение:
Обозначим углы при вершинах $A$, $B$ и $X$ треугольника $ABX$ через $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Поскольку $CX\parallel BA$ и $BX\parallel CD$, то
$\angle DCX=\angle BXC=\angle ABX=\beta,~\angle CDX=\angle BXA=\gamma,~\angle CXD=\angle BAX=\alpha.$
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, поэтому суммы его противоположных углов равны по $180^{\circ}$, значит,
$\angle CBA=180^{\circ}-\angle CDA=180^{\circ}-\gamma=\alpha+\beta,$
а т.к. $\angle ABX=\beta$, то $\angle CBX=\alpha$.
Таким образом, треугольники $ABX$, $CXB$ и $XCD$ подобны. Перемножив почленно равенства
$\frac{BC}{AX}=\frac{CX}{BX},~\frac{BC}{DX}=\frac{BX}{CX},$
находим, что
$BC^{2}=AX\cdot DX=\frac{3}{2}\cdot6=9,$
откуда $BC=3$.