2021-11-26
Точка $M$ лежит на боковой стороне $CD$ трапеции $ABCD$. Известно, что $\angle BCD=\angle CBD=\angle ABM=\arccos\frac{5}{6}$ и $AB=9$. Найдите $BM$.
Решение:
Пусть $DH$ - высота трапеции. Поскольку треугольник $BDC$ - равнобедренный, то $H$ - середина $BC$. Из равенства углов $\angle ABM$ и $\angle CBD$ следует равенство углов $\angle ABD$ и $\angle CBM$. Из параллельности прямых $AD$ и $BC$ следует, что $\angle ADB=\angle DBC=\angle DCB$. Поэтому треугольники $ABD$ и $MBC$ подобны по двум углам. Значит,
$\frac{BM}{AB}=\frac{BC}{BD}=\frac{2HB}{BD}=2\cdot\frac{HB}{BD}=2\cos\angle DBH=2\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{3},$
откуда находим, что $BM=\frac{5}{3}AB=\frac{5}{3}\cdot9=15$.