2021-11-26
Две окружности с центрами $O$ и $Q$, пересекающиеся друг с другом в точках $A$ и $B$, пересекают биссектрису угла $OAQ$ в точках $C$ и $D$ соответственно. Отрезки $AD$ и $OQ$ пересекаются в точке $E$, причём площади треугольников $OAE$ и $QAE$ равны 18 и 42 соответственно. Найдите площадь четырёхугольника $OAQD$ и отношение $BC:BD$.
Решение:
Заметим, что
$\frac{EQ}{EO}=\frac{S_{\Delta QAE}}{S_{\Delta OAE}}=\frac{42}{18}=\frac{7}{3}.$
Треугольник $AQD$ - равнобедренный, поэтому $\angle OAD=\angle QAD=\angle QDA$. Значит, $QD\parallel OA$, поэтому треугольник $DEQ$ подобен треугольнику $AEO$, причём коэффициент подобия равен $\frac{EQ}{EO}=\frac{7}{3}$. Тогда
$S_{\Delta DEQ}=\frac{49}{9}S_{\Delta AEO}=\frac{49}{9}\cdot18=98.$
Поскольку $\frac{S_{\Delta QDE}}{S_{\Delta ODE}}=\frac{7}{3}$, то
$S_{\Delta ODE}=\frac{3}{7}S_{\Delta QDE}=\frac{3}{7}\cdot98=42.$
Следовательно,
$S_{OAQD}=S_{\Delta QAE}+S_{\Delta OAE}+S_{\Delta QAE}+S_{\Delta ODE}+S_{\Delta QDE}=42+18+42+98=200.$
Угол $ADB$ вписан в окружность с центром $Q$ и опирается на дугу $AB$, не содержащую точки $D$, а угол $AQO$ равен половине центрального угла, соответствующего той же дуге, поэтому $\angle ADB=\angle AQO$.
Угол $ACB$ вписан в окружность с центром $O$ и опирается на дугу $AB$, лежащую вне окружности с центром $Q$, а угол $AOQ$ равен половине центрального угла, соответствующего дополнительной дуге, поэтому $\angle ACB=180^{\circ}-\angle AOQ$. Тогда $\angle BCD=180^{\circ}-\angle ACB=\angle AOQ$.
Из доказанных равенств углов следует подобие треугольников $BCD$ и $AOQ$. Следовательно, $BC:BD=AO:AQ$. По свойству биссектрисы треугольника $AO:AQ=EO:EQ=3:7$. Таким образом, $BC:BD=3:7$.