2021-11-26
В трапеции $ABCD$ с боковой стороной $CD=30$ диагонали пересекаются в точке $E$, а углы $AED$ и $BCD$ равны. Окружность радиуса 17, проходящая через точки $C$, $D$ и $E$, пересекает основание $AD$ в точке $F$ и касается прямой $BF$. Найдите высоту трапеции и её основания.
Решение:
Пусть $R$ - радиус окружности, описанной около треугольника $CFD$ (по условию $R=17$). По теореме синусов находим, что
$\sin\angle CFD=\sin\alpha=\frac{CD}{2R}=\frac{30}{2\cdot17}=\frac{15}{17}.$
Из прямоугольного треугольника $CHD$ находим, что
$CH=CD\sin\alpha=30\cdot\frac{15}{17}=\frac{450}{17}.$
Поскольку $\angle BCF=\angle CFD=\angle CDF=\alpha$, то по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 3946), прямая $BC$ касается окружности в точке $C$. Тогда $BC=BF$ и $\angle BFC=\angle BCF=\angle CDF$. Следовательно, во-первых:
$BC=\frac{1}{2}FC:\cos\angle BCF=15:\cos\alpha=15:\sqrt{1-\frac{15}{17}}=15:\frac{8}{17}=\frac{255}{8};$
во-вторых: треугольник $BFC$ подобен треугольнику $CFD$ (равнобедренные треугольники с соответственно равными углами при основаниях), поэтому $\frac{CF}{BC}=\frac{FD}{CD}$, откуда $FD=CD\cdot\frac{CF}{BC}$.
Поскольку $\angle CAF=\angle ACB=\angle CDB$, $\angle ACF=\angle BDF=\angle CBD$, то треугольники $ACF$ и $DBC$ подобны. Поэтому $\frac{AF}{CD}=\frac{CF}{BC}$, откуда $AF=CD\cdot\frac{CF}{BC}$. Ранее же было доказано, что $FD=CD\cdot\frac{CF}{BC}$, значит, $AF=FD=2CD\cos\angle CDF=2\cdot30\cdot\frac{8}{17}=\frac{480}{17}$.
Следовательно, $AD=AF+FD=2AF=\frac{960}{17}$.