2021-11-26
Две окружности касаются внешним образом в точке $A$. Прямая, проходящая через точку $A$, пересекает первую окружность в точке $B$, а вторую окружность - в точке $C$. Касательная в точке $B$ к первой окружности пересекает вторую окружность в точках $D$ и $E$ ($D$ лежит между $B$ и $E$). Известно, что $AB=5$ и $AC=4$. Найдите длину отрезка $CE$ и расстояние от точки $A$ до центра окружности, касающейся отрезка $AD$ и продолжений отрезков $ED$ и $EA$ за точки $D$ и $A$ соответственно.
Решение:
Пусть общая касательная данных окружностей, проведённая через точку $A$, пересекает отрезок $BD$ в точке $M$. Тогда $MA=MB$. Обозначим $\angle MAB=\angle MBA=\alpha$. Если $N$ - точка на продолжении отрезка $MA$ за точку $A$, то $\angle AEC=\angle CAN=\angle MAB=\alpha$ (по теореме об угле между касательной и хордой). Следовательно, треугольники $EAC$ и $BEC$ подобны по двум углам ($\angle ACE$ - общий угол этих треугольников). Значит, $\frac{CE}{AC}=\frac{BC}{CE}$, откуда $CE^{2}=AC\cdot BC=4\cdot9=36$, а $CE=6$.
Обозначим $\angle BAD=\beta$. Поскольку четырёхугольник $ADEC$ вписан в окружность, то $\angle BEC=180^{\circ}-\angle DAC=\angle BAD=\beta$. В то же время, из подобия треугольников $EAC$ и $BEC$ следует, что $\angle CAE=\angle BEC$, поэтому $\angle BAK=\angle CAE=\angle BEC=\angle BAD=\beta$ ($K$ - точка на продолжении отрезка $EA$ за точку $A$), т.е. луч $AB$ - биссектриса угла $DAK$. Следовательно, центр $O$ окружности, упомянутой во второй части условия, лежит на отрезке $AB$ (это вневписанная окружность треугольника $AED$, касающаяся стороны $AD$.
Поскольку $DO$ - биссектриса угла $ADB$, то $\frac{AO}{BO}=\frac{AD}{BD}$. С другой стороны, из подобия треугольников $BAD$ и $BEC$ следует, что $\frac{AD}{BD}=\frac{CE}{BC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Значит, $\frac{AO}{BO}=\frac{2}{3}$, поэтому $\frac{AO}{BD}=\frac{2}{5}$. Следовательно, $AO\frac{2}{5}BD=\frac{2}{5}\cdot5=2$.