2021-11-26
Окружность, проходящая через вершины $B$, $C$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, касается прямой $AD$ и пересекает прямую $AB$ в точках $B$ и $E$. Найдите длину отрезка $AE$, если $AD=4$ и $CE=5$.
Решение:
Пусть точка $E$ лежит между точками $A$ и $B$. Трапеция $BCDE$ вписана в окружность, поэтому она равнобедренная. Значит, $BD=CE=5$. Хорда $BC$ параллельна касательной $AD$, поэтому треугольник $BDC$ равнобедренный (прямая, проходящая через точку $D$ перпендикулярно касательной $AD$, проходит через центр окружности, перпендикулярна хорде $BC$ и делит её пополам). Следовательно, $AB=CD=BD=CE=5$, и по теореме о касательной и секущей $AD^{2}=AB\cdot AE$, откуда $AE=\frac{AD^{2}}{AB}=\frac{16}{5}$.
Если точка не лежит между точками $A$ и $B$, то задача не имеет решений (в этом случае, рассуждая аналогично первому случаю, получим, что $AE=\frac{16}{5}\lt5$, что невозможно).