2021-11-26
В трапеции $KLMN$ основания $KN$ и $LM$ равны 12 и 3 соответственно. Из точки $Q$, лежащей на стороне $MN$, опущен перпендикуляр $QP$ на сторону $KL$. Известно, что $P$ - середина стороны $KL$, $PM=4$ и что площадь четырёхугольника $PLMQ$ в четыре раза меньше площади четырёхугольника $PKNQ$. Найдите длину отрезка $PN$.
Решение:
Поскольку $P$ - середина $KL$, то высоты треугольников $PLM$ и $PKN$, опущенные из вершины $P$, равны. Поэтому $S_{\Delta PLM}:S_{\Delta PKN}=LM:KN=1:4$, а т.к. при этом $S_{PLMQ}:S_{PKNQ}=1:4$, то $S_{\Delta MPQ}:S_{\Delta NPQ}=1:4$. Поэтому $MQ:QN=1:4$.
Пусть $MA$ и $NB$ - высоты треугольников $LMP$ и $NKP$. Так как $LP=PK$, то $AM:BN=1:4$.
По теореме о пропорциональных отрезках $AP:PB=MQ:QN=1:4$, поэтому прямоугольные треугольники $MAP$ и $NBP$ подобны. Следовательно, $MP:PN=1:4$, откуда $PN=4PM=4\cdot4=16$.