2021-11-23
Треугольники $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ таковы, что $AB=A_{1}B_{1}$, $AC=AC_{1}$, а $\angle A\gt\angle A_{1}$. Докажите, что $BC\gt B_{1}C_{1}$.
Решение:
Первый способ. Поскольку $\angle A\gt\angle A_{1}$, а величина каждого из этих углов между $0^{\circ}$ и $180^{\circ}$, то $\cos\angle A\lt\cos\angle A_{1}$. По теореме косинусов
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\angle A=A_{1}B^{2}_{1}+A_{1}C^{2}_{1}-2A_{1}B_{1}\cdot A_{1}C_{1}\cos\angle A\gt A_{1}B^{2}_{1}+A_{1}C^{2}_{1}-2A_{1}B_{1}\cdot A_{1}C_{1}\cos\angle A_{1}\gt B_{1}C^{2}_{1}.$
Следовательно, $BC\gt B_{1}C_{1}$.
Второй способ. Рассмотрим такую точку $D$, чтобы треугольник $ABD$ был равен треугольнику $A_{1}B_{1}C_{1}$, а точки $D$ и $C$ были бы расположены по одну сторону от прямой $AB$. Тогда, т.к. $\angle BAC\gt\angle B_{1}A_{1}C_{1}=\angle BAD$, то луч $AD$ будет расположен между лучами $AB$ и $AC$.
Проведём биссектрису $AM$ угла $CAD$. Она также будет расположена между сторонами угла $BAC$, поэтому точка $E$ её пересечения с прямой $BC$ будет расположена между точками $B$ и $C$.
Треугольники $ADE$ и $ACE$ равны по двум сторонам и углу между ними, значит, $DE=CE$. Применяя неравенство треугольника к треугольнику $BDE$, получим, что
$BC=BE+EC=BE+DE\gt BD=B_{1}C_{1}.$
Третий способ. Сначала докажем следующее вспомогательное утверждение. Если точка $P$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$ и не совпадает с точками $B$ и $C$, то $AP$ меньше наибольшей из сторон $AB$ и $AC$.
Действительно, один из углов $APC$ и $APB$ не меньше $90^{\circ}$, значит, в одном из треугольников $APC$ и $BPC$ против этого угла лежит наибольшая сторона. Отсюда следует сформулированное утверждение.
Пусть о треугольниках $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ известно, что
$AB=A_{1}B_{1},~AC=AC_{1},~\angle A\gt\angle A_{1}.$
Предположим, что $AC\geq AB$. Отложим от луча $AB$ в полуплоскости, содержащей точку $C$, луч, образующий с лучом $AB$ угол, равный углу $A_{1}$. Поскольку $\angle A_{1}\lt\angle A$, то отложенный луч проходит между сторонами угла $BAC$, значит, он пересекает отрезок $BC$ в некоторой точке $P$. На луче $AP$ отложим отрезок $AD$, равный $A_{1}C_{1}$. Тогда луч $DA$ проходит между сторонами угла $BDC$.
Из доказанного ранее следует, что $AP\lt AC=A_{1}C_{1}=AD$, поэтому точка $P$ лежит на отрезке $AD$. Это означает, что луч $CB$ проходит между сторонами угла $ACD$. Тогда,
$\angle BCD\lt\angle ACD=\angle ADC\lt\angle BDC.$
Значит, в треугольнике $BCD$ сторона $BC$, лежащая против угла $BDC$, больше стороны $BD$, лежащей против угла $BCD$, а т.к. треугольники $ABD$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ равны по двум сторонам и углу между ними, то $BD=B_{1}C_{1}$. Следовательно,
$BC\gt BD=B_{1}C_{1}.$