2021-11-23
Существует ли треугольник со сторонами $a=7$ и $b=2$, если известно, что высота, опущенная на третью сторону этого треугольника, является средним геометрическим двух других высот?
Решение:
Предположим, что такой треугольник существует. Пусть $h_{a}$, $h_{b}$, $h_{c}$ - его высоты, опущенные на стороны $a$, $b$, $c$ соответственно ($a=7$, $b=2$); $S$ - площадь этого треугольника. Тогда
$S=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}.$
Отсюда $h_{c}=\frac{bh_{b}}{c}$ и $h_{c}=\frac{ah_{a}}{c}$. Поэтому
$h^{2}_{c}=h_{c}\cdot h_{c}=\frac{abh_{a}h_{b}}{c^{2}}=\frac{abh^{2}_{c}}{c^{2}}$
Значит,
$c^{2}=ab=14,~c=\sqrt{14}.$
Поскольку $a+c=2+\sqrt{14}\lt7$, такой треугольник не существует.