2021-11-23
Высота треугольника в два раза меньше его основания, а один из углов при основании равен $75^{\circ}$. Докажите, что треугольник равнобедренный.
Решение:
Пусть в треугольнике $ABC$ угол $BAC$ равен $75^{\circ}$, а высота $BN$ вдвое меньше стороны $AC$. Докажем, что $BC=AC$.
Предположим, что $BC\lt AC$. Тогда
$\angle ABC\gt75^{\circ},~\angle ACB\lt30^{\circ},~BN\lt\frac{1}{2}BC\lt\frac{1}{2}AC,$
что противоречит условию. Аналогично докажем, что $BC$ не может быть больше $AC$.