2021-11-23
На диаметре $AC$ некоторой окружности дана точка $E$. Проведите через неё хорду $BD$ так, чтобы площадь четырёхугольника $ABCD$ была наибольшей.
Решение:
Пусть $O$ - центр, $R$ - радиус окружности, $OE=a$ (рис.1). Тогда
$S_{ABCD}=S_{\Delta ADC}+S_{\Delta ABC}=\frac{2R}{a}S_{\Delta ODE}+\frac{2R}{a}S_{\Delta OBE}=\frac{2R}{a}(S_{\Delta ODE}+S_{\Delta OBE})=\frac{2R}{a}S_{\Delta OBD}.$
Следовательно, площадь четырёхугольника $ABCD$ наибольшая, когда наибольшая площадь треугольника $OBD$.
Треугольник $OBD$ - равнобедренный,
$OB=OD=R,~S_{\Delta OBD}=\frac{1}{2}R^{2}\sin\varphi,$
где $\varphi=\angle BOD$. Угол $\varphi$ тем меньше, чем меньше хорда $BD$, или чем длиннее проведённый к этой хорде перпендикуляр $OH$.
Поскольку $OH\leq OE=a$, то наименьшее значение $\varphi=\varphi_{0}$ характеризуется тем, что отрезки $OH$ и $OE$ совпадают, что соответствует хорде $BD$, перпендикулярной $AC$. В этом случае $\cos\frac{\varphi_{0}}{2}=\frac{a}{R}$.
Итак, остаётся найти наибольшее значение площади треугольника $OBD$ при $\varphi_{0}\leq\varphi\lt\pi$. Возможны следующие два случая.
1) Если $\varphi_{0}\leq\frac{\pi}{2}$, то максимум достигается при $\varphi=\frac{\pi}{2}$. В этом случае
$\frac{a}{R}=\cos\frac{\varphi_{0}}{2}\geq\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},~a\geq\frac{R}{\sqrt{2}},$
а искомая хорда $BD$, стягивающая дугу в $90^{\circ}$, должна отстоять от центра на расстояние $\frac{R}{\sqrt{2}}$, т.е. должна касаться окружности с центром $O$ радиуса $\frac{R}{\sqrt{2}}$.
2) Если же $\varphi_{0}\gt\frac{\pi}{2}$ (что будет при $a\lt\frac{R}{\sqrt{2}}$), то максимум площади достигается при $\varphi=\varphi_{0}$. В этом случае искомая хорда $BD$ должна быть перпендикулярна диаметру $AC$.