2021-11-23
Две стороны треугольника равны 10 и 15. Докажите, что биссектриса угла между ними не больше 12.
Решение:
Первый способ. Обозначим стороны $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ через $a$ и $b$ соответственно, а его биссектрису $CD$ - через $x$ (в данном случае $a=10$, $b=15$).
Через точку $D$ проведём прямую, параллельную стороне $BC$, до пересечения со стороной $AC$ в точке $M$ (рис.1). Тогда
$\angle MDC=\angle BCD=\angle DCM.$
Поэтому треугольник $DCM$ - равнобедренный. Из подобия треугольников $ADM$ и $ABC$ находим, что
$DM=BC\cdot\frac{AD}{AB}=\frac{ab}{a+b}$
(т.к. $\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}$). Следовательно,
$x=CD\lt CM+DM=2DM=\frac{2ab}{a+b}=2\cdot10\cdot\frac{15}{10+15}=12.$
Второй способ. Обозначим стороны $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ через $a$ и $b$ соответственно, а его биссектрису $CD$ - через $x$ (в данном случае $a=10$, $b=15$). По свойству биссектрисы треугольника
$\frac{BD}{DA}=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}.$
Через точки $B$ и $D$ проведём прямые, перпендикулярные биссектрисе $CD$, до пересечения с прямой $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно (рис.2). Тогда треугольник $BCK$ - равнобедренный (его высота и биссектриса, проведённые из вершины $C$, совпадают). Поэтому
$AK=AC-CK=AC-BC=b-a,~\frac{KL}{LA}=\frac{BD}{DA}=\frac{a}{b}.$
Следовательно,
$KL=AK\cdot\frac{a}{a+b}=\frac{a(b-a)}{a+b},$
$CL=CK+KL=CB+KL=a+\frac{a(b-a)}{a+b}=\frac{2ab}{a+b}=2\cdot10\cdot\frac{15}{10+15}=12,$
$x=CD\lt CL=12.$
Третий способ. Обозначим стороны $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ через $a$ и $b$ соответственно, а его биссектрису $CD$ - через $x$ (в данном случае $a=10$, $b=15$), $\angle ACB=2\alpha$ (рис.3). Тогда
$x=\frac{2ab\cos\alpha}{a+b}$
(см. задачу 7218). Следовательно,
$CB=x\lt\frac{2ab}{a+b}=2\cdot10\cdot\frac{15}{10+15}=12.$